일상 속 수학 이야기: 엘리베이터 대기시간과 확률론 🧐

일상 속 수학 이야기: 엘리베이터 대기시간과 확률론 🧐

매일 출퇴근길, 아파트나 회사에서 우리는 어김없이 엘리베이터를 기다립니다. "이번엔 바로 오겠지?" 하는 기대와 달리, 한참을 기다려야 할 때도 있고, 방금 놓친 엘리베이터가 야속하게 느껴질 때도 있죠. 지루하게만 느껴지는 이 엘리베이터 대기시간에 사실은 흥미로운 확률론적 비밀이 숨어있다는 사실, 알고 계셨나요? 🔑

 

---

내 엘리베이터는 항상 늦게 올까? 포아송 분포의 마법

"왜 내가 탈 엘리베이터는 항상 늦게 오는 걸까?" 한 번쯤 이런 생각해 보셨을 겁니다. 이는 단순히 운이 없어서가 아니라, 확률론의 한 개념인 포아송 분포(Poisson Distribution)로 설명할 수 있습니다.

포아송 분포는 일정 시간 동안 특정 사건이 발생할 평균 횟수를 알 때, 그 사건이 실제로 특정 횟수만큼 발생할 확률을 나타내는 분포입니다. 말이 조금 어렵죠? 엘리베이터 상황에 대입해 보면 훨씬 쉽습니다.

• 사건: 엘리베이터 도착
• 일정 시간: 예) 10분
• 평균 발생 횟수: 예) 10분 동안 엘리베이터가 평균 2번 도착

즉, 10분 동안 엘리베이터가 평균 2번 도착한다고 할 때, 실제로 10분 동안 엘리베이터가 한 번도 오지 않을 확률, 한 번 올 확률, 세 번 올 확률 등을 계산할 수 있는 것이 바로 포아송 분포입니다.

수식으로는 다음과 같이 표현됩니다.

$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

• $P(X=k)$: 특정 시간 동안 사건이 $k$번 일어날 확률
• $\lambda$: 특정 시간 동안 사건의 평균 발생 횟수
• $e$: 자연상수 (약 2.718)

예를 들어, 10분 동안 엘리베이터가 평균 2번 도착($\lambda=2$)한다고 가정해 봅시다. 이때 내가 10분 동안 기다렸는데 엘리베이터가 한 번도 오지 않을 확률($k=0$)은 얼마나 될까요?

$$P(X=0) = \frac{e^{-2}2^0}{0!} \approx 0.135$$

약 13.5%의 확률로, 10분 동안 엘리베이터를 한 번도 못 만날 수 있다는 계산이 나옵니다. 반대로 10분 동안 3번 도착($k=3$)할 확률도 계산해 볼까요?

$$P(X=3) = \frac{e^{-2}2^3}{3!} \approx 0.180$$

약 18%의 확률이네요. 이처럼 포아송 분포를 이용하면 엘리베이터 도착이라는 불확실한 사건의 발생 확률을 예측해 볼 수 있습니다.

---

그렇다면 평균 대기시간은? 지수 분포의 등장

포아송 분포가 '도착 횟수'에 대한 이야기였다면, '대기 시간'에 대한 비밀은 지수 분포(Exponential Distribution)가 풀어줍니다. 지수 분포는 포아송 분포를 따르는 사건에서, 어떤 사건이 한 번 발생하고 다음 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간에 대한 확률 분포입니다.

다시 엘리베이터로 돌아와 볼까요?

• 엘리베이터가 도착하는 사건이 포아송 분포를 따른다면,
• 내가 엘리베이터를 기다리기 시작해서 다음 엘리베이터가 올 때까지 걸리는 시간은 지수 분포를 따릅니다.

지수 분포의 가장 흥미로운 특징은 무기억성(Memoryless Property)입니다. 이는 과거의 결과가 미래에 영향을 미치지 않는다는 의미입니다. 즉, 내가 이미 5분을 기다렸다고 해서 다음 1분 안에 엘리베이터가 올 확률이 더 높아지지는 않는다는 뜻입니다.

"아니, 5분이나 기다렸는데 어떻게 그럴 수 있어?"라고 생각하실 수 있습니다. 하지만 엘리베이터 도착은 독립적인 사건입니다. 방금 엘리베이터가 떠났다고 해서 다음 엘리베이터가 곧바로 온다는 보장은 없죠. 엘리베이터는 그저 자신의 운행 스케줄에 따라 움직일 뿐, 내가 얼마나 기다렸는지는 알지 못합니다. 이것이 바로 우리가 느끼는 '기다림의 억울함'에 대한 수학적 해석입니다. 😂

만약 엘리베이터가 시간당 평균 6번 도착한다면($\lambda=6$), 평균 도착 간격은 10분입니다. 이때 내가 엘리베이터를 기다리는 평균 시간, 즉 평균 대기시간 또한 10분이 됩니다. 지수 분포에서는 평균 대기시간이 평균 사건 발생 간격과 같기 때문입니다.

---

결론: 일상 속 숨겨진 수학의 재미

단순히 지루하게만 느껴졌던 엘리베이터 대기시간 속에는 이처럼 포아송 분포와 지수 분포라는 확률론적 원리가 숨어 있습니다. 물론 실제 엘리베이터 운행은 출퇴근 시간의 집중된 수요나, 각 층에서 누르는 버튼 등 더 복잡한 변수들의 영향을 받습니다. 하지만 기본적인 모델을 통해 우리는 일상 현상을 수학적으로 분석하고 예측하는 즐거움을 느낄 수 있습니다.

다음에 엘리베이터를 기다릴 때, "아, 지금 내 기다림은 지수 분포를 따르고 있겠군!" 하고 생각해 보는 것은 어떨까요? 무심코 지나쳤던 일상에 숨겨진 수학의 재미를 발견하는 순간이 될 것입니다. 🤓