수학 공식 정리: 수열과 급수 완전 정복 (등차, 등비, 시그마) 🔢

수학 공식 정리: 수열과 급수 완전 정복 (등차, 등비, 시그마) 🔢

고등학교 수학의 여정에서 중요한 분기점이 되는 단원을 꼽으라면 많은 학생이 '수열'을 이야기합니다. 처음에는 규칙을 찾는 재미로 시작하지만, 어느새 복잡한 기호와 공식의 압박에 시달리게 되죠. 하지만 수열과 그 합인 급수는 단순히 숫자를 나열하는 것을 넘어, 변화의 패턴을 이해하고 미래를 예측하는 수학적 사고의 첫걸음입니다.

규칙적으로 쌓이는 적금의 원리부터, 약물의 반감기 계산, 컴퓨터 알고리즘의 효율성 분석까지, 수열의 원리는 우리 세상 곳곳에 숨어 있습니다. 이번 포스팅에서는 수열의 양대 산맥인 등차수열과 등비수열부터, 합의 기호 시그마($\Sigma$)에 이르기까지, 모든 핵심 공식을 상세한 설명과 예제를 통해 남김없이 파헤쳐 보겠습니다. 이 글을 끝까지 읽고 나면, 흩어져 있던 수열 공식들이 머릿속에서 완벽하게 정리되는 경험을 하게 될 것입니다!

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Part 1. 등차수열: 일정하게 내딛는 발걸음 🚶‍♂️

등차수열(Arithmetic Sequence)은 이름 그대로 '차이가 같은 수열'입니다. 즉, 첫째항부터 시작하여 일정한 수(공차)를 차례대로 더하여 만들어지는 수열을 의미합니다. 마치 계단을 한 칸 한 칸 오르듯, 변화의 폭이 일정한 가장 기본적이고 정직한 수열입니다.

• 첫째항 ($a$): 수열의 시작을 알리는 첫 번째 숫자입니다.
• 공차 ($d$, common difference): 이웃하는 두 항의 일정한 차이입니다. $d > 0$ 이면 숫자가 점점 커지고, $d < 0$ 이면 점점 작아집니다.

1. 일반항 ($a_n$) 공식: n번째 항을 찾아라!

등차수열의 n번째 항인 일반항을 구하는 것은 특정 위치에 어떤 숫자가 올지 예측하는 것과 같습니다.

$$a_n = a + (n-1)d$$

이 공식은 당연해 보이지만, 그 원리를 이해하는 것이 중요합니다.

• $a_1 = a$
• $a_2 = a + d$
• $a_3 = a_2 + d = (a+d) + d = a + 2d$
• $a_4 = a_3 + d = (a+2d) + d = a + 3d$

패턴을 보면, n번째 항은 첫째항 $a$에 공차 $d$를 (n-1)번 더한 값이라는 것을 알 수 있습니다.

✏️ 예제 1) 첫째항이 5이고 공차가 -3인 등차수열의 11번째 항($a_{11}$)을 구하시오.
풀이)
$a = 5$, $d = -3$, $n = 11$ 이므로 공식에 대입하면,
$a_{11} = 5 + (11-1) \times (-3) = 5 + 10 \times (-3) = 5 - 30 = -25$

2. 등차중항: 세 항 사이의 조화

세 수 $x, y, z$가 순서대로 등차수열을 이룰 때, 가운데 항 $y$를 등차중항이라고 합니다. 이들 사이에는 아주 간단한 관계가 성립합니다.

$$y = \frac{x+z}{2}$$

즉, 가운데 항은 양쪽 두 항의 산술 평균과 같습니다. ($y-x = z-y \implies 2y = x+z$)

3. 등차수열의 합 ($S_n$) 공식: 가우스의 지혜를 빌려

수열의 합, 즉 급수를 구하는 공식입니다. 어린 시절 가우스가 1부터 100까지의 합을 순식간에 구했던 일화는 매우 유명하며, 이 공식의 핵심 원리를 담고 있습니다.

공식 1: 첫째항과 마지막 항을 알 때

$$S_n = \frac{n(a + l)}{2}$$
(단, $n$은 항의 개수, $a$는 첫째항, $l$은 마지막 항($a_n$))

이 공식의 의미는 (항의 개수) $\times$ (첫째항과 마지막 항의 평균) 입니다. 가우스가 1부터 100까지 더할 때, (1+100), (2+99), ... 처럼 합이 101인 쌍이 50개(100/2) 나온다는 것을 발견한 것과 같습니다.

공식 2: 첫째항과 공차를 알 때

$$S_n = \frac{n{2a + (n-1)d}}{2}$$

이 공식은 위의 첫 번째 공식에서 마지막 항 $l$ 대신 일반항 공식인 $a+(n-1)d$를 대입하여 정리한 것입니다. 둘은 완전히 같은 공식이므로 문제에 주어진 조건에 따라 편리한 것을 사용하면 됩니다.

✏️ 예제 2) 첫째항이 10이고 공차가 4인 등차수열의 첫째항부터 8번째 항까지의 합($S_8$)을 구하시오.
풀이)
$a = 10$, $d = 4$, $n = 8$ 이므로 공식 2에 대입하면,
$S_8 = \frac{8{2 \times 10 + (8-1) \times 4}}{2} = 4(20 + 7 \times 4) = 4(20 + 28) = 4 \times 48 = 192$

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Part 2. 등비수열: 기하급수적인 성장 🌱

등비수열(Geometric Sequence)은 '비율이 같은 수열'입니다. 즉, 첫째항부터 시작하여 일정한 수(공비)를 차례대로 곱하여 만들어지는 수열입니다. 복리 이자, 세포 분열, 바이러스 확산 등 우리 주변의 폭발적인 성장은 대부분 등비수열의 모델을 따릅니다.

• 첫째항 ($a$): 수열의 시작
• 공비 ($r$, common ratio): 이웃하는 두 항의 일정한 비율.

1. 일반항 ($a_n$) 공식: n번째 항을 찾아라!

등비수열의 n번째 항은 다음과 같이 구합니다.

$$a_n = ar^{n-1}$$

이 역시 원리는 간단합니다. n번째 항은 첫째항 $a$에 공비 $r$을 (n-1)번 곱한 값입니다.

• $a_1 = a$
• $a_2 = ar$
• $a_3 = a_2 \times r = (ar) \times r = ar^2$
• $a_4 = a_3 \times r = (ar^2) \times r = ar^3$

✏️ 예제 3) 첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열의 6번째 항($a_6$)을 구하시오.
풀이)
$a = 3$, $r = 2$, $n = 6$ 이므로,
$a_6 = 3 \times 2^{6-1} = 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = 96$

2. 등비중항: 세 항 사이의 균형

세 수 $x, y, z$가 순서대로 등비수열을 이룰 때, 가운데 항 $y$를 등비중항이라고 합니다.

$$y^2 = xz$$

즉, 가운데 항의 제곱은 양쪽 두 항의 곱과 같습니다. ($y/x = z/y \implies y^2 = xz$)

3. 등비수열의 합 ($S_n$) 공식: 교묘한 방정식의 마법

등비수열의 합 공식은 유도 과정이 조금 독특합니다.
$S_n = a + ar + \dots + ar^{n-1}$ 의 양변에 공비 $r$을 곱한 뒤, 두 식을 빼서 유도합니다.

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1-r}$$
(단, $r \neq 1$)

두 공식은 분모, 분자에 각각 -1을 곱한 것으로 완전히 동일합니다. 보통 $|r|>1$ 일 때는 왼쪽 공식을, $|r|<1$ 일 때는 오른쪽 공식을 사용하면 계산이 편리합니다.

✏️ 예제 4) 첫째항이 5이고 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 5번째 항까지의 합($S_5$)을 구하시오.
풀이)
$a = 5$, $r = 2$, $n = 5$ 이고 $r>1$이므로 왼쪽 공식을 사용하면,
$S_5 = \frac{5(2^5 - 1)}{2-1} = \frac{5(32-1)}{1} = 5 \times 31 = 155$

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Part 3. 무한 등비급수와 시그마($\Sigma$)

1. 무한 등비급수: 끝없는 합의 행방

등비수열을 끝없이 더하면 그 값은 어떻게 될까요? 놀랍게도 특정 조건에서는 그 합이 하나의 값으로 수렴합니다.

수렴 조건: 공비 $r$의 절댓값이 1보다 작을 때, 즉 $|r| < 1$

이 조건이 중요한 이유는, $|r|<1$ 이면 $n$이 무한히 커질 때 $r^n$은 0에 가까워지기 때문입니다.
따라서 합 공식 $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r}$ 에서 $r^n$이 0으로 사라지면서 다음과 같은 간단한 공식이 탄생합니다.

$$S = \frac{a}{1-r}$$ (단, $|r|<1$)

✏️ 예제 5) 첫째항이 6이고 공비가 1/3인 무한 등비급수의 합을 구하시오.
풀이)
$a=6$, $r=1/3$ 이고 $|r|<1$ 이므로 수렴합니다.
$S = \frac{6}{1 - 1/3} = \frac{6}{2/3} = 6 \times \frac{3}{2} = 9$

2. 시그마($\Sigma$): 합을 나타내는 우아한 기호

수열의 합을 나타낼 때 매번 $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ 처럼 길게 쓰는 것은 비효율적입니다. 수학자들은 이를 간결하게 표현하기 위해 그리스 문자 시그마($\Sigma$, Sum의 S에 해당)를 사용합니다.

$$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

자주 사용되는 시그마 공식 (자연수의 거듭제곱 합)
이 공식들은 반드시 암기해야 합니다.

• $$\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$> * $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$> * $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3+2^3+\dots+n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$

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결론: 패턴을 지배하는 자

수열과 급수 공식은 단순히 암기해야 할 대상이 아닙니다. 각 공식에 담긴 원리를 이해하고, 등차수열의 '꾸준함'과 등비수열의 '폭발적인 성장'이라는 특징을 파악하는 것이 중요합니다.

이 공식들은 미적분에서 함수의 극한과 급수를 이해하는 데 필수적인 기초가 되며, 확률과 통계, 경제학 등 다양한 분야로 나아가는 튼튼한 다리가 되어줄 것입니다. 오늘 정리해드린 내용이 여러분의 머릿속에 명확한 지도를 그려주었기를 바랍니다!