수학 공식 정리: 벡터 연산 공식 완벽 가이드 (기초부터 심화까지) ➡️

수학 공식 정리: 벡터 연산 공식 완벽 가이드 (기초부터 심화까지) ➡️

물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스, 그리고 심지어 경제학에 이르기까지, 현대 과학과 기술의 많은 분야를 지탱하는 수학적 개념이 바로 벡터(Vector)입니다. 단순히 숫자 하나로 표현되는 스칼라(Scalar, 예: 온도, 질량, 속력)와 달리, 벡터는 크기(magnitude)와 방향(direction)이라는 두 가지 정보를 동시에 담고 있는 강력한 도구입니다.

힘의 작용, 물체의 운동, 공간상의 위치를 표현하는 데 필수적인 벡터. 처음에는 화살표와 낯선 기호들 때문에 어렵게 느껴질 수 있지만, 기본적인 연산 원리만 제대로 이해하면 그 어떤 수학적 도구보다 직관적이고 유용합니다.

이번 포스팅에서는 벡터의 기초적인 표현법부터 덧셈, 뺄셈, 그리고 가장 중요한 두 가지 곱셈 방식인 내적(Dot Product)과 외적(Cross Product)에 이르기까지, 벡터 연산의 모든 것을 상세한 설명과 예제를 통해 완벽하게 정리해 드리겠습니다.

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제1장: 벡터의 기본 - 표현과 크기

벡터를 이해하는 첫걸음은 벡터를 어떻게 표현하고, 그 크기를 어떻게 측정하는지 아는 것입니다.

1. 벡터의 표현

• 기하학적 표현: 벡터는 화살표로 표현됩니다. 화살표의 길이가 벡터의 크기를, 화살표가 가리키는 방향이 벡터의 방향을 나타냅니다.
• 대수적 표현: 좌표 평면이나 공간상에서 벡터는 성분(component)으로 표현됩니다. 시점을 원점(0,0)으로 했을 때, 종점이 위치하는 좌표를 이용합니다.

2차원 평면 벡터: $\vec{a} = <a_1, a_2>$
3차원 공간 벡터: $\vec{a} = <a_1, a_2, a_3>$

2. 벡터의 크기 (Magnitude or Norm)

벡터 $\vec{a}$의 크기는 기호로 $||\vec{a}||$ 또는 $|\vec{a}|$ 로 나타냅니다. 이는 원점으로부터 벡터의 종점까지의 거리와 같으므로, 피타고라스 정리를 이용하여 간단히 계산할 수 있습니다.

2차원: $||\vec{a}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
3차원: $||\vec{a}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

                      ✏️ 예제 1) 벡터 $\vec{a} = <3, 4>$의 크기를 구하시오.
                               풀이) $||\vec{a}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

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제2장: 벡터의 기본 연산 - 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱

1. 벡터의 덧셈과 뺄셈

벡터의 덧셈과 뺄셈은 '힘의 합성', '위치의 변화' 등과 관련이 깊습니다.

• 기하학적 접근:
  • 삼각형 법칙: 벡터 $\vec{a}$의 종점에 벡터 $\vec{b}$의 시점을 이어 붙인 후, $\vec{a}$의 시점에서 $\vec{b}$의 종점으로 향하는 새로운 벡터가 바로 두 벡터의 합($\vec{a} + \vec{b}$)입니다.

  • 

  • 평행사변형 법칙: 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 시점을 일치시킨 후, 두 벡터를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형을 그립니다. 이때, 두 벡터의 공통 시점에서 시작하는 대각선 벡터가 두 벡터의 합($\vec{a} + \vec{b}$)입니다.
  • 대수적 접근 (성분별 연산): 각각의 성분을 따로 더하거나 빼주면 됩니다. 이것이 가장 간단하고 실용적인 계산법입니다.

$\vec{a} \pm \vec{b} = <a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, a_3 \pm b_3>$

2. 벡터의 스칼라 곱

벡터에 방향이 없는 일반 숫자, 즉 스칼라(k)를 곱하는 연산입니다.

$k\vec{a} = <ka_1, ka_2, ka_3>$

스칼라 곱은 벡터의 방향과 크기에 다음과 같은 영향을 미칩니다.

• $k > 0$: 방향은 그대로, 크기는 $k$배가 됩니다.
• $k < 0$: 방향은 정반대가 되고, 크기는 $|k|$배가 됩니다.
• $k = 0$: 영벡터(<0, 0, 0>)가 됩니다.

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제3장: 벡터의 곱셈 (1) - 내적 (Dot Product)

벡터의 곱셈에는 두 가지 종류가 있으며, 그 첫 번째가 바로 내적입니다. 내적은 기호로 '·' 를 사용하며, 연산의 결과가 스칼라(Scalar) 값이 되기 때문에 스칼라 곱(Scalar Product)이라고도 불립니다.

1. 내적의 공식

내적을 구하는 방법은 두 가지가 있습니다.

• 기하학적 정의: 두 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 사이각($\theta$)의 코사인 값을 곱합니다.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| \ ||\vec{b}|| \cos\theta$$

• 대수적 정의 (성분별 곱의 합): 두 벡터의 같은 위치 성분끼리 곱한 후 모두 더합니다.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

2. 내적의 기하학적 의미

내적의 핵심 의미는 '한 벡터가 다른 벡터의 방향으로 얼마나 나아가는가'를 나타내는 척도입니다. 즉, 벡터 $\vec{b}$를 벡터 $\vec{a}$ 위로 정사영(projection)시킨 그림자의 크기에 벡터 $\vec{a}$의 크기를 곱한 값과 같습니다.

이러한 특성 때문에, 내적은 물리학에서 '일(Work)'을 계산하는 데 사용됩니다. (일 = 힘 벡터 · 변위 벡터)

3. 내적의 활용: 사이각과 직교

• 두 벡터 사이의 각도 구하기: 위의 기하학적 정의를 변형하면 두 벡터 사이의 각도를 쉽게 구할 수 있습니다.

$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \ ||\vec{b}||}$$

• 직교(Orthogonality) 확인: 두 벡터가 서로 수직을 이룬다면, 사이각 $\theta=90^\circ$이고 $\cos(90^\circ)=0$이므로, 두 벡터의 내적은 반드시 0이 됩니다. 이는 두 벡터가 직교하는지를 판별하는 매우 중요한 성질입니다.

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

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제4장: 벡터의 곱셈 (2) - 외적 (Cross Product)

벡터의 두 번째 곱셈인 외적은 3차원 공간에서만 정의되며, 기호로 '×'를 사용합니다. 내적과 가장 큰 차이점은, 연산의 결과가 스칼라가 아닌 새로운 벡터라는 점입니다. 따라서 벡터 곱(Vector Product)이라고도 합니다.

1. 외적의 결과: 크기와 방향

외적의 결과로 나오는 새로운 벡터 $\vec{a} \times \vec{b}$는 다음과 같은 특징을 가집니다.

• 방향: 원래의 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$ 모두에 동시에 수직입니다. 그 방향은 오른손 법칙(Right-Hand Rule)을 따릅니다.
• 크기: 외적 벡터의 크기는 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다.

$$||\vec{a} \times \vec{b}|| = ||\vec{a}|| \ ||\vec{b}|| \sin\theta$$

2. 외적의 공식 (성분 기반)

외적의 성분은 행렬식을 이용하여 계산하는 것이 가장 표준적인 방법입니다.

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = <(a_2b_3 - a_3b_2), (a_3b_1 - a_1b_3), (a_1b_2 - a_2b_1)>$$
(여기서 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$는 각각 x, y, z축 방향의 단위벡터입니다.)

3. 외적의 활용: 평행과 법선벡터

• 평행(Parallel) 확인: 두 벡터가 서로 평행하다면, 사이각 $\theta=0^\circ$ 또는 $180^\circ$이고 $\sin\theta=0$이므로, 두 벡터의 외적은 반드시 영벡터(0,0,0)가 됩니다.
• 법선벡터(Normal Vector) 구하기: 어떤 평면을 정의하는 두 벡터가 주어졌을 때, 그 평면에 수직인 벡터(법선벡터)를 구하는 데 외적이 결정적인 역할을 합니다. 이는 3D 그래픽스와 컴퓨터 모델링에서 평면의 방향을 설정하는 데 필수적으로 사용됩니다.

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결론: 공간을 이해하는 언어, 벡터

벡터는 단순한 화살표나 숫자 쌍을 넘어, 힘, 속도, 공간을 기술하는 정교한 언어입니다. 덧셈과 뺄셈을 통해 운동을 예측하고, 내적을 통해 각도와 일의 양을 계산하며, 외적을 통해 3차원 공간의 방향과 면적을 정의합니다.

오늘 정리한 벡터 연산 공식들은 물리학의 법칙을 이해하고, 공학적 문제를 해결하며, 화려한 3D 게임 세계를 구축하는 수학적 초석입니다. 각 연산의 대수적 계산법과 기하학적 의미를 함께 이해한다면, 여러분은 세상을 더욱 깊이 있게 분석하고 이해하는 강력한 도구를 손에 넣게 될 것입니다.