수학 공식 정리: 행렬 연산 완벽 가이드 (기초부터 역행렬까지) 🔢

데이터 과학, 인공지능, 컴퓨터 그래픽스, 경제학 등 현대 과학 기술의 심장부에는 데이터를 효율적으로 처리하고 변환하는 수학적 도구가 있습니다. 그 핵심에 바로 행렬(Matrix)이 있습니다. 행렬은 단순히 숫자를 사각형 격자 안에 배열한 것을 넘어, 복잡한 연립방정식을 간단하게 표현하고, 3D 객체를 회전시키거나, 거대한 데이터 세트의 관계를 분석하는 강력한 언어입니다.

처음에는 대괄호와 수많은 숫자들 때문에 위압감을 느낄 수 있지만, 행렬의 연산 규칙은 매우 논리적이고 체계적입니다. 이번 포스팅에서는 행렬의 가장 기초적인 정의부터 덧셈, 뺄셈, 그리고 가장 중요하면서도 헷갈리는 곱셈, 나아가 행렬의 '나눗셈'에 해당하는 역행렬까지, 행렬 연산의 모든 것을 상세한 설명과 예제를 통해 완벽하게 정복할 수 있도록 안내해 드리겠습니다.

제1장: 행렬의 기본 - 용어와 종류

본격적인 연산에 앞서, 행렬의 기본적인 용어와 특별한 종류들을 알아두는 것이 중요합니다.

1. 행렬의 정의와 표현

정의: 행렬은 숫자나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것입니다.
크기(차원): 행렬의 크기는 (행의 개수) × (열의 개수)로 나타냅니다. 예를 들어, 2개의 행과 3개의 열을 가진 행렬을 '2×3 행렬'이라고 부릅니다.
성분: 행렬 내부의 각각의 숫자나 문자를 행렬의 성분(element)이라고 합니다. i번째 행, j번째 열에 있는 성분은 보통 $a_{ij}$로 표현합니다.

2. 특별한 행렬들

연산 과정에서 자주 등장하는 특별한 행렬들이 있습니다.

정사각행렬 (Square Matrix): 행과 열의 개수가 같은 행렬 (n×n 행렬). 행렬식과 역행렬은 정사각행렬에서만 정의됩니다.
영행렬 (Zero Matrix, O): 모든 성분이 0인 행렬. 숫자의 '0'과 같은 역할을 합니다.
단위행렬 (Identity Matrix, I): 주대각선(왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 이어지는 대각선)의 성분은 모두 1이고 나머지 성분은 모두 0인 정사각행렬입니다. 숫자의 '1'과 같은 역할을 하여, 어떤 행렬에 곱해도 자기 자신이 나옵니다.
$$
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (2\times2 \text{ 단위행렬})
$$
전치행렬 (Transpose Matrix, $A^T$): 원래 행렬의 행과 열을 서로 맞바꾼 행렬입니다. $a_{ij}$ 성분은 $a_{ji}$ 위치로 이동합니다.
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
$$

제2장: 행렬의 기본 연산 - 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱

가장 직관적이고 간단한 연산들입니다.

1. 행렬의 덧셈과 뺄셈

조건: 두 행렬의 크기(차원)가 반드시 같아야 합니다.
방법: 같은 위치에 있는 성분끼리 더하거나 빼면 됩니다.
$$
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+p & b+q \\ c+r & d+s \end{pmatrix}
$$
✏️ 예제 1)*
$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-5 & 2-(-1) \\ 3-0 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
$$

2. 행렬의 스칼라 곱

행렬에 스칼라(단순 숫자)를 곱하는 연산입니다.

방법: 행렬의 모든 성분에 해당 스칼라를 각각 곱해줍니다.
$$
k \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}
$$

제3장: 행렬 곱셈 - 가장 중요하고 헷갈리는 연산

행렬 연산의 꽃이자, 많은 학생들이 처음 헷갈려 하는 부분입니다. 행렬 곱셈은 단순한 성분별 곱셈이 아닙니다.

1. 곱셈의 조건

두 행렬 A, B를 곱하여 AB를 만들 때, 앞 행렬(A)의 열의 개수와 뒤 행렬(B)의 행의 개수가 반드시 같아야 합니다.

(m×n 행렬) × (n×p 행렬) = (m×p 행렬)

결과로 나오는 행렬의 크기는 (앞 행렬의 행의 개수) × (뒤 행렬의 열의 개수)가 됩니다.

2. 곱셈의 방법: "행과 열의 내적"

결과 행렬의 (i행, j열) 성분은, 앞 행렬의 i번째 행과 뒤 행렬의 j번째 열의 각 성분들을 순서대로 곱하여 더한 값(내적)입니다.

✏️ 예제 2) 다음 두 행렬 A, B의 곱 AB를 구하시오.
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}
$$
풀이)
AB의 (1행, 1열) = (A의 1행) · (B의 1열) = $(1 \times 5) + (2 \times 7) = 5 + 14 = 19$
AB의 (1행, 2열) = (A의 1행) · (B의 2열) = $(1 \times 6) + (2 \times 8) = 6 + 16 = 22$
AB의 (2행, 1열) = (A의 2행) · (B의 1열) = $(3 \times 5) + (4 \times 7) = 15 + 28 = 43$
AB의 (2행, 2열) = (A의 2행) · (B의 2열) = $(3 \times 6) + (4 \times 8) = 18 + 32 = 50$
$$
\therefore AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}
$$

3. 행렬 곱셈의 중요한 성질

교환법칙이 성립하지 않는다: 일반적으로, $AB \neq BA$ 입니다. (순서가 매우 중요!)
결합법칙은 성립한다: $(AB)C = A(BC)$
분배법칙은 성립한다: $A(B+C) = AB + AC$

제4장: 행렬식과 역행렬 - 행렬의 '나눗셈'을 향하여

숫자 세계의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같습니다. 행렬 세계에도 이와 유사한 개념인 역행렬이 존재하며, 역행렬을 구하기 위해서는 먼저 행렬식을 알아야 합니다. 이 두 개념은 정사각행렬에서만 정의됩니다.

1. 행렬식 (Determinant, det(A) or |A|)

행렬식은 정사각행렬이 갖는 고유한 스칼라 값입니다. 이 값은 행렬이 어떤 특성을 갖는지, 특히 역행렬을 가질 수 있는지 알려주는 중요한 지표입니다.

2×2 행렬의 행렬식:
$$
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies \det(A) = ad - bc
$$
3×3 행렬의 행렬식 (사뤼스 법칙, Sarrus's Rule):
$$
\det(A) = (aei + bfg + cdh) - (ceg + bdi + afh)
$$

가장 중요한 성질: 만약 $\det(A) = 0$ 이면, 그 행렬은 특이행렬(Singular Matrix)이라고 부르며, 역행렬이 존재하지 않습니다.

2. 역행렬 (Inverse Matrix, $A^{-1}$)

어떤 행렬 A에 곱했을 때 단위행렬(I)이 나오는 행렬을 A의 역행렬이라고 합니다.
$$
AA^{-1} = A^{-1}A = I
$$

존재 조건: $\det(A) \neq 0$ 일 때만 역행렬이 존재합니다.
2×2 행렬의 역행렬 공식:
$$
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
$$
공식은 두 단계로 기억하세요:
1. 행렬식의 역수를 곱한다.
2. 주대각선 성분(a, d)은 자리를 바꾸고, 나머지 성분(b, c)은 부호를 바꾼다.

✏️ 예제 3) 행렬 $ A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \ 2 & 6 \end{pmatrix} $ 의 역행렬을 구하시오.
풀이)

행렬식 계산: $\det(A) = (4 \times 6) - (7 \times 2) = 24 - 14 = 10$. (0이 아니므로 역행렬 존재)
공식 적용:
$$
A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6/10 & -7/10 \\ -2/10 & 4/10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{pmatrix}
$$

결론: 데이터를 지배하는 강력한 도구

행렬은 선형 연립방정식의 해를 구하고, 공간을 변환하며, 복잡한 시스템을 모델링하는 선형대수학의 심장입니다. 오늘 우리는 행렬의 기본 정의부터 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱, 그리고 가장 중요한 곱셈, 나아가 행렬식과 역행렬에 이르기까지 그 핵심적인 연산들을 모두 살펴보았습니다.

각 연산의 조건과 규칙을 정확히 이해한다면, 행렬은 더 이상 두려움의 대상이 아니라, 데이터를 자유자재로 다룰 수 있게 해주는 강력하고 신뢰할 수 있는 도구가 될 것입니다.

수학지옥! 수학천국!

수학 공식 정리: 행렬 연산 완벽 가이드 (기초부터 역행렬까지) 🔢