[즐거운 수학퀴즈] 가짜금화와 저울

1. 무게저울 한번쓰고 가짜금화 찾기

금화가 가득 든 자루가 열개가 있습니다. 이 가운데 한 자루는 가짜 금화인 9g짜리로 차있고 나머지는 진짜 금화인 10g짜리 입니다.

무게 저울을 꼭 한번만 사용해서 가짜 금화 자루를 찾을 수 있을까요?

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이 문제는 옛날 미국드라마 "형사콜롬보"에도 나온 문제입니다. 그리고 일본만화 "소년탐정 김전일"에도 등장합니다.

각 자루를 순서대로 놓고 금화를 각각 1개, 2개, 3개, .... 10개씩 꺼내어 무게를 달았을 때, 만약 모두 진짜 금화라면 550g이지만 가짜 금화가 있기때문에 550g이 나오지 않습니다. 가짜가 진짜보다 1g이 가볍기 때문에 550g에서 부족한 g수 만큼의 순서의 자루가 가짜금화입니다.

예를 들어 첫번째 자루가 가짜금화라면 금화 55개의 무게는 549g이므로 550g에서 1g모자라죠.
만약 다섯번째 자루가 가짜금화라면 금화들의 무게는 545g이므로 550g에서 5g 모자라죠.

이렇게 저울을 이용한 계산방법을 저울산이라고 합니다.

 

2. 9개에서 무거운 가짜금화 하나 찾기

똑같이 생긴 9개의 금화가 있는데, 하나만 무게가 무거운 가짜 금화 입니다.

양팔 저울을 몇번을 써서 가짜금화를 찾을 수 있을까요? 

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1. 9개의 금화를 다음과 같이 3개의 세더미로 나눕니다.

    A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9)

2. 세 더미 중 A와 B를 양팔저울에 올리면 다음과 같은 세가지 경우가 나옵니다.

• A = B : 가짜 금화는 C에 있습니다.
• A > B : 가짜 금화는 A에 있습니다.
• A < B : 가짜 금화는 B에 있습니다.

3. 2번에서 첫번째 케이스인 C에 가짜금화가 있다면,

• 7 = 8 : 가짜 금화는 9입니다.
• 7 > 8 : 가짜 금화는 7입니다.
• 7 < 8 : 가짜 금화는 8입니다.

   나머지 두가지 케이스도 같은 방법으로 측정하여 가짜금화를 찾을 수 있습니다.

따라서 양팔저울을 두번만 사용해서 가짜금화를 찾을 수 있습니다.