헷갈리는 삼각함수 공식, 이 글 하나로 완벽 정리 (단위원, 덧셈정리, 배각공식) 🚀

헷갈리는 삼각함수 공식, 이 글 하나로 완벽 정리 (단위원, 덧셈정리, 배각공식) 🚀

안녕하세요, 수학의 모든 것을 파헤치는 Hellmath입니다!

"사인? 코사인? 왜 이렇게 공식이 많아?" 삼각함수를 공부하다 보면 끝없이 나오는 공식에 머리가 아파오곤 하죠. 하지만 무작정 외우기만 하면 금방 잊어버리고 응용도 어렵습니다.

오늘 Hellmath에서는 삼각함수의 가장 기초가 되는 단위원(Unit Circle)의 정의부터 시작해서, 헷갈리는 여러 공식들이 어떻게 서로 연결되는지 그 원리를 알려드릴게요. 이 글 하나만 제대로 읽으시면, 더 이상 삼각함수 공식 때문에 스트레스받을 일은 없을 겁니다!

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1. 모든 공식의 시작, 단위원 (Unit Circle)

삼각함수의 모든 이야기는 반지름이 1인 원, '단위원'에서 시작됩니다. 이 개념만 확실히 잡으면 수많은 공식을 유도해낼 수 있습니다.

좌표평면의 중심에 단위원을 그리고, x축의 양의 방향에서 시작해 각도($\theta$)만큼 회전한 지점을 P라고 해봅시다. 이때 점 P의 좌표가 바로 코사인과 사인 값이 됩니다.

위 그림에서 보듯이, 점 P의 x좌표가 코사인($\cos\theta$), y좌표가 사인($\sin\theta$)이 됩니다. 그리고 원점과 점 P를 잇는 직선의 기울기가 바로 탄젠트($\tan\theta$)가 되죠.

• 코사인 (cosine, $\cos\theta$) = 점 P의 x좌표
• 사인 (sine, $\sin\theta$) = 점 P의 y좌표
• 탄젠트 (tangent, $\tan\theta$) = 직선 OP의 기울기 = $\frac{y\text{좌표}}{x\text{좌표}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

이 정의만 기억하면, 각도가 변할 때마다 사인, 코사인 값이 어떻게 변하는지 직관적으로 이해할 수 있습니다.

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2. 가장 기본! 상호 관계 공식 3가지

✅ 역수 공식

세 개의 새로운 함수(코시컨트, 시컨트, 코탄젠트)는 기존 함수의 역수일 뿐입니다.

• $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ (코시컨트)
• $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ (시컨트)
• $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ (코탄젠트)

✅ 상제 관계 (나눗셈 관계)

위에서 정의했듯, 탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 값입니다.

• $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

✅ 제곱 관계 (피타고라스 항등식)

단위원의 방정식은 $x^2 + y^2 = 1$ 입니다. 여기에 $x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$를 대입하면 삼각함수에서 가장 중요한 공식이 탄생합니다.

• $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

이 식의 양변을 각각 $\cos^2\theta$와 $\sin^2\theta$로 나누면 두 개의 공식이 추가로 유도됩니다.

• $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
• $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

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3. 복잡한 각을 다루는 기술, 덧셈정리

두 각($\alpha, \beta$)의 합이나 차로 이루어진 각의 삼각함수 값은 덧셈정리를 이용해 구할 수 있습니다. 이 공식은 모든 응용 공식의 어머니 격이니 꼭 익숙해지세요!

• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
• $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

(복부호 동순)

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4. 알아두면 정말 편한, 배각 & 반각 공식

✅ 배각 공식 (2배각 공식)

덧셈정리에서 $\beta$ 대신 $\alpha$를 대입하면($\alpha + \alpha = 2\alpha$) 간단하게 유도할 수 있습니다.

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1-2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

✅ 반각 공식

코사인 배각 공식을 살짝 변형하면 반각 공식을 얻을 수 있습니다. 각도를 절반으로 줄일 때 유용합니다.

• $\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}$
• $\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}$
• $\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$

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마무리하며

오늘은 삼각함수의 핵심 공식들을 그 원리부터 차근차근 정리해 보았습니다. 중요한 것은 이 공식들이 모두 단위원이라는 하나의 뿌리에서 뻗어 나온 가지들이라는 사실입니다. 각 공식이 어떻게 유도되었는지 그 관계를 이해하면, 억지로 외우지 않아도 필요할 때 공식을 떠올리고 활용할 수 있게 될 겁니다.

오늘 정리해 드린 내용이 여러분의 수학 공부에 든든한 무기가 되기를 바랍니다. 궁금한 점은 언제나 댓글로 남겨주세요!