이성적인 수가 있나요? - 수체계에 대하여

0의 발견

수의 사용과 셈법은 역사의 기록보다 훨씬 오래전으로 추정되고 있습니다. 지금도 아마존의 어떤 원시부족은 1, 2, 3까지의 단어만 알고 있고 그 이상은 "많다"라고 말한다고 합니다. 그렇다면 수의 셈법은 어떻게 사용했을 까요? 가축을 키우던 우리 조상들은 아마도 조약돌이나 나무토막이나 혹은 매듭 등으로 가축의 숫자와 일대일 대응으로 개수를 세었을 것으로 추정됩니다. 

수의 역사에서 가장 중요한 발견 중의 하나는 0(Zero)를 알아낸 것이 아닐까합니다. 현대 수학에서 0은 두가지 기능이 있습니다. 첫번째로 비어있는 자릿수를 나타냅니다. 예를 들어 11과 101의 구분과 같이 말이죠. 두번째 기능은 없다는 뜻을 의미합니다.

숫자 0은 마야문명에서 처음 기원했다고 알려져 있습니다. 현대와 같은 0의 사용은 고대 인도에서 시작하여 유럽으로 전해진 것으로 추정됩니다. 인도의 수학자들은 0을 첫번째 기능인 숫자를 구분하는 역할만 가지고 있는 것이 아니라 자체로 고유한 수임을 알고 있었습니다. 아마도 인도의 다양한 종교와 관련이 있었을 텐데요. 아무것도 없다는 무(無)의 개념을 이해하고 있었다는 의미입니다.

고대 그리스의 철학자 아리스토텔레스의 사상은 근대 과학의 발전 이전까지 대부분의 과학적인 지식의 기반이 되었는데요. 과학의 발전과 함께 그의 사상은 대부분 틀린 것으로 결론이 났는데요. 그는 0을 가르켜 "규칙에서 벗어난 수"라고 하여 별다른 의미를 두지 않았다고 합니다.

 

자연수(Natural Number)

자연수는 1부터 시작해서 1씩 더해가는 연산을 통해 계속 생성합니다.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...

Natural Number의 N을 자연수의 집합을 나타냅니다. 말 그대로 가장 자연스러운 수라는 의미로 생각하면 됩니다. 사과나무에 사과가 열렸다고 했을 때, 사과의 숫자를 센다면 하나, 둘, 셋, 넷, ... 이런식으로 하죠. 사과 반개, 사과 3분의 1개 이렇게 세지는 않잖아요.  자연수는 자연계에서 가장 자연스러운 수라고 할 수 있겠죠?

정수(Zahl, Integer Number)

자연수와 0 그리고 자연수의 음수를 합쳐서 정수라고 합니다. 정수의 집합을 대표문자로 Z로 사용합니다. Zahl은 독일어로 "짤"이라고 읽고 수라는 뜻이랍니다. 

양을 셀 때 양 10마리라고 할 수는 있지만, 양 -10마리라고 할 수 없잖아요. 그래서 사람들이 음수를 이해하는데는 아주 오랜 세월이 걸렸다고 합니다. 하지만 인간의 사고력이 음수를 발견할 수 있게 된거죠. 예를 들면 영상 3도는 3℃지만 영하 3도는 -3℃가 되죠. 또, 동쪽으로 10km를 간다는 것을 +10이라고 한다면 서쪽으로 10km는 -10으로 표현할 수 있습니다.

중국의 <구장산술>에는 음수에 대한 기록이 있는데, 동양에서는 일찍부터 음수에 대한 개념을 알고 있었지만 서양에서는 16세기가 되서야 방정식의 음의 해를 인정하면서 음수의 개념이 나오게 됩니다.

유리수(Rational Number)

유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수를 의미합니다. 유리수(有理數)는 일본의 개항으로 네덜란드를 비롯한 서양문물이 들어가면서 영어 번역의 오류로 생각됩니다. Rational을 이성적인, 이성이 있는 뜻으로 해석했다는 말입니다. Rational에는 그런 뜻이 있지만, 사실 이 단어는 Ratio(비:比)의 형용사형으로 비율이 있는 수라는 뜻의 유비수(有比數)가 더 적절한 번역이 아닐까 합니다. 

유리수의 집합은 Q로 사용하는데 이는 Quotient의 약자로 나눗셈의 몫을 뜻합니다. 정수는 유리수에 속합니다.

무리수(Irrational Number)

소수는 무한소수와 유한소수로 나눌 수 있습니다. 유한소수는 분수로 표현할 수 있으니 유리수입니다. 무한소수는 순환소수와 비순환 무한소수로 나눌 수 있는데 비순환 무한소수를 무리수라고 합니다. Rational(비율이 있다는 뜻)에 부정형 IR을 붙인 것에서 Irrational이 된 것입니다. 마찬가지로 무리수라기보다 무비수라라는 게 더 적절한 번역이 되겠죠.

무리수의 집합은 기호 I 를 사용합니다. 중학교에서 처음 배우는 루트를 사용하는 수들이 무리수가 될 수 있겠네요.

실수(Real Number)

유리수와 무리수를 합한 수를 실수라고 합니다. 실제 존재하는 수를 의미하죠. 

실수의 집합은 R을 사용합니다. 이렇게 해서 중학교까지의 수체계가 완성이 됩니다.