파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형은 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것을 말합니다.

1303년 중국인에 의해 유럽에 알려졌으나 이 삼각형에서 흥미로운 성질을 많이 발견한 프랑스의 철학자이자 수학자인 파스칼(Pascal)의 이름을 따서 파스칼의 삼각형이라 부르게 되었습니다.

양휘의 <상해구장산법>에 수록된 파스칼 삼각형

파스칼의 삼각형을 잘 이용하면 여러 가지 재미있는 문제를 해결하는데 도움이 됩니다. 예를 들면, 사과와 배 두 종류만 파는 과일가게에 갔는데 과일을 사는 방법의 경우의 수를 생각해 보면 둘을 모두 사는 경우가 1가지, 둘 중 하나를 사는 경우는 사과만 살 경우와 배만 살 경우가 있으므로 2가지, 둘 다 사지 않는 경우의 수 1가지가 있습니다. 이것은 그림에서 세번 째 줄의 숫자 1, 2, 1과 같습니다. 그러면 사과, 배, 감의 세가지 과일을 사는 경우는 어떻게 될까요? 딱 봐도 감이 오죠? 고등학교에 올라가게 되면 다항식의 계수에 관한 내용을 배우는데 (이항 정리하고 합니다.) 계수의 규칙도 파스칼의 삼각형을 이용해서 알 수 있습니다.

파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형으로 여러가지 규칙을 찾아 보겠습니다.

1. 파스칼의 삼각형에서 홀수를 빨간색으로 칠해보면 어떤 모양이 만들어질까요?

시어핀스키 삼각형 모양

시어핀스키 삼각형은 바츠와프 시어핀스크의 이름이 붙은 프랙탈 도형으로 정삼각형의 세 중점을 연결해 내부에 정삼각형을 만드는 것을 무한히 반복하여 얻어지는 도형입니다. 고등학교에서 무한급수에 대해 배울 때 자주 등장하는 내용입니다.

 

2. 파스칼의 삼각형에서 5의 배수를 파란색으로 칠해보면 어떤 모양이 만들어질까요?

5의 배수만 색칠하게 되면 역삼각형 모양의 패턴을 찾아낼 수 있습니다. 

 

3. 1부터 10까지의 합을 구해볼까요?

하키스틱 법칙

1부터 10까지의 합은 경사로를 따라 1부터 10까지 따라 내려간 후 바로 아랫 줄 꺾인 부문의 값이 더한 값이 됩니다. 위에 칠해진 바로 밑에 줄인 1, 3, 6, 10, ... 45까지 더한 값은? 당연히 165가 되겠죠? 이런 규칙을 하키스틱 법칙이라고도 한답니다.

 

4. 각 줄의 숫자를 더해볼까요?

2의 거듭제곱

각 줄을 더하면 2의 거듭제곱이라는 규칙이 있음을 알 수 있습니다.

 

블레즈 파스칼은 13살에 이 삼각형 모양을 발견해 이항계수를 구할 때 써먹었다고 하니 들은적은 있지만 본적은 없는 천재임이 분명합니다.

파스칼의 삼각형 활동지를 첨부합니다. 필요하신 분들은 다운로드하시길 바랍니다.

파스칼활동지.hwp

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파스칼은 확률론에도 크게 기여했는데요. 당시 유명한 도박사 친구인 드메레로부터 다음과 같은 편지를 받았습니다.

“친애하는 파스칼에게, 나는 심각한 문제에 봉착했네. 실력이 비슷한 A와 B가 각각 32피스톨(화폐 단위)을 걸고 게임을 했어. 총 5판에 3판을 이기면 64피스톨을 모두 가지기로 했지. 그런데 A가 2판, B가 1판을 이긴 상황에서 일이 생겨 게임을 그만뒀어. 다시 돈을 반씩 나누면 2판이나 이긴 A가 너무 억울할 것 같고, A에게 64피스톨을 다 주면 B가 앞으로 이길 수도 있으니 공평하지 않은 듯하네. 어떻게 해야 공평할까?”

풀이는 확률을 이야기할 때 다루기로 하고, 파스칼은 자신의 풀이를 페르마에게 보냈고, 페르마는 다른 방법으로 풀어 파스칼에게 보냈다고 합니다.