복면산 (覆面算, Verbal arithmetic)

복면산(覆面算, Verbal arithmetic)은 수학 퍼즐의 일종으로, 문자를 이용하여 표현된 수식에서 각 문자가 나타내는 숫자를 알아내는 문제입니다. 숫자 대부분을 문자로 숨겨서 나타내므로 숫자가 복면을 쓰고 있는 연산이라는 뜻에서 복면산(覆面算)이라는 이름을 얻었습니다.

투탕카멘의 복면(가면)

 

복면산은 특별한 언급이 없는 경우, 같은 문자는 같은 숫자를 나타내고, 첫번째 자리 숫자는 0이 아니라고 가정하는 것이 일반적이고 복면산 문제의 답은 유일해야 합니다.

 

먼저 쉬운 문제 부터 해결해 보겠습니다.

\[ \begin{align} A{\quad}A \\ \underline{+{\quad}{\quad}A}& \\ 7{\quad}2& \end{align} \]

먼저 1의 자리를 보면 같은 숫자를 더했을 때 2가 나와야 하므로 A는 1이나 6 둘 중에 6이 맞겠죠?

 

다음은 가장 유명한 복면산 문제로, 영국의 퍼즐리스트인 헨리 어니스트 듀드니가 1924년에 발표했습니다.

\[\begin{align} S{\quad}E{\quad}N{\quad}D \\ \underline{+{\quad}M{\quad}O{\quad}R{\quad}E}& \\ M{\quad}O{\quad}N{\quad}E{\quad}Y& \end{align}\]

위 문제를 보면, 4자리 자연수 두개를 더해 5자리 자연수가 되었으므로 \(M=1\)입니다. \(S\)와 \(1\)을 더했을 때 한자리 올라가므로 \(S=8 \,or\, S=9\)이 될 수 있는데, \(S=8\)인 경우 \(O=0\)이 되어야 하는데, 백의 자리에서 \(E=N\) 중복이 발생하기 때문에 \(S=9\)입니다.

\[\begin{align} 9{\quad}E{\quad}N{\quad}D \\ \underline{+{\quad}1{\quad}0{\quad}R{\quad}E} \\ 1{\quad}0{\quad}N{\quad}E{\quad}Y \end{align}\]

백의 자리를 보면 \(E=N\)이 아니므로 십의 자리에서 받아 올림이 있었겠죠. 따라서 \(E+1 = N\)가 성립하고 십의 자리에서 \(N\)을 \(E+1\)로 바꿔 보면 \(E+1+R=E\)가 되어야 하는데 \(R=9\)가 되면 \(S\)와 중복이므로 일의자리에서 받아올림으로 \(R=8\)입니다.

\[\begin{align} 9{\quad}E{\quad}N{\quad}D \\ \underline{+{\quad}1{\quad}0{\quad}8{\quad}E} \\ 1{\quad}0{\quad}N{\quad}E{\quad}Y \end{align}\]

마지막으로 일의 자리 두 숫자의 합이 10이 넘어야 하는데 \(D+E = 10+Y\) 8미만의 두 다른 숫자의 \(5+7\,or\,7+5\)뿐입니다. \(5+6\,or\,4+6\)등은 일의 자리 숫자를 이미 사용 했기 때문입니다. 따라서 \(Y=2\)입니다. 그리고 앞서 \(N=E+1\)이라는 조건이 있었으므로 \(E=5\,,N=6, \,D=7\)이 됩니다.

\[\begin{align} 9{\quad}5{\quad}6{\quad}7 \\ \underline{+{\quad}1{\quad}0{\quad}8{\quad}5} \\ 1{\quad}0{\quad}6{\quad}5{\quad}2 \end{align}\]

하나씩 예상 하면서 따져 보니 어렵지 않게 답을 찾았습니다.

 

SEND + MORE = MONEY와 같이 뜻이 있는 문장을 이루는 경우를 특별히 alphametic이라고 부르기도 한답니다.

이외에도 곱셈복면산도 있구요. FORTY+TEN+TEN=SIXTY와 같이 문장자체가 참인 등식을 뜻할 경우 이중으로 옳은 복면산이라고 부릅니다.